身内に不幸があったとき、年賀メールには何と返す？

葬儀業界に2年従事した後、葬儀関係のライターとして活動している奥山です。
昨年お父様をなくされたとのこと、ご愁傷さまでした。
喪中に年賀メールが届くと、戸惑ってしまいますね。

かがみもちさんが認識されているとおり、
喪中に年賀メールが届いたとき、返信には、「あけましておめでとうございます」といったような、新年をお祝いする言葉は書けません。
めでたい言葉を避けて、「メールをありがとう。今年もよろしく」といった内容の返信をする必要があります。
例えば、次のような文面はいかがでしょうか。

「新年のご挨拶をありがとうございました。
昨年●月に父が他界したため、新年のご挨拶を控えさせていただきました。
お知らせをせずに、大変失礼いたしました。
本年も、どうぞよろしくお願い申し上げます。」

喪中に相手から年賀状が届いたのであれば、松の内（1月7日）を過ぎてから「寒中見舞い」としてハガキを送るのがよいとされています。
メールであっても、そのマナーにのっとってかまいません。
でも、「何日も経ってからメールを返信するなんて、なんだか不自然な気がするな……」
という人もいることでしょう。
その場合は、松の内であっても、
上のような内容のメールを手短に送っておいてもよいだろうと、個人的には思います。

喪中時の年賀メールの対応に絶対的なルールはありません。対応としては、
①通常通り返信する
②1月8日以降に寒中見舞いとして、喪中だった旨と合わせて連絡
の2パターンをおすすめします。

ご質問者様は喪中の期間を勘違いされているのではないでしょうか。

一般的に喪中の期間は1年間です。昨年、お父様が亡くなったとのことですから、これから迎えるお正月の元旦の時点で既に1年以上が経過しています。つまり元旦の時点で喪中ではありませんから、普通に「おめでとう」と書いても差し支えありません。

むしろ年賀メールを送るべき相手には、返信をどうするか考えるのではなくて、ご質問者様自身から送るべきだと思います。

（仮に昨年2018年の12月31日に亡くなったとすると、今年2019年の翌年2020年1月1日には1年以上が経過しています）